Termination w.r.t. Q proof of /home/nowonder/forschung/aprove/satrung/aprove/lpar14/nonterminSLASHAG01SLASHHASH4.35.trs

Termination w.r.t. Q of the following Term Rewriting System could be proven:

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

Q is empty.

The TRS is non-overlapping. Hence, we can switch to innermost.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

Using Dependency Pairs [1,13] we result in the following initial DP problem:
Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> AND₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> IF₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> AND₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> AND₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
REN₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> IF₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The approximation of the Dependency Graph [13,14,18] contains 2 SCCs with 5 less nodes.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

              ↳ QDP

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(x, x')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(l, l')
EQ₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> EQ₂(t, t')
EQ₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> EQ₂(s, s')
EQ₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> EQ₂(t, t')

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')

Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
EQ₂(x1, x2) = x1
var₁(x1) = x1
apply₂(x1, x2) = apply₂(x1, x2)
lambda₂(x1, x2) = lambda₂(x1, x2)
cons₂(x1, x2) = cons₂(x1, x2)

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

trivial

The following usable rules [14] were oriented: none

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

              ↳ QDP

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

EQ₂(var₁(l), var₁(l')) -> EQ₂(l, l')

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.
none
Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
EQ₂(x1, x2) = EQ₁(x1)
var₁(x1) = var₁(x1)

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

trivial

The following usable rules [14] were oriented: none

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

                      ↳ QDP

                        ↳ PisEmptyProof

              ↳ QDP

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, t)
REN₃(x, y, apply₂(t, s)) -> REN₃(x, y, s)

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.

REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)

Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
REN₃(x1, x2, x3) = REN₁(x3)
apply₂(x1, x2) = apply₂(x1, x2)
lambda₂(x1, x2) = x2
ren₃(x1, x2, x3) = x3
var₁(x1) = var
cons₂(x1, x2) = x2
nil = nil
if₃(x1, x2, x3) = if
false = false
and₂(x1, x2) = and₁(x1)
eq₂(x1, x2) = eq₁(x1)
true = true

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

REN₁ > [var, nil, if, false]
apply₂ > [var, nil, if, false]
[and₁, eq_1] > true > [var, nil, if, false]

The following usable rules [14] were oriented:

ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t))
REN₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> REN₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.
none
Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
REN₃(x1, x2, x3) = REN₂(x2, x3)
lambda₂(x1, x2) = lambda₁(x2)
ren₃(x1, x2, x3) = x3
var₁(x1) = var
cons₂(x1, x2) = cons
nil = nil
if₃(x1, x2, x3) = x3
false = false
and₂(x1, x2) = and₁(x1)
eq₂(x1, x2) = eq
apply₂(x1, x2) = apply
true = true

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

lambda₁ > REN₂ > var > [cons, nil, false, eq, apply, true]
and₁ > [cons, nil, false, eq, apply, true]

The following usable rules [14] were oriented:

ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

                      ↳ QDP

                        ↳ PisEmptyProof

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

and₂(true, y) -> y
and₂(false, y) -> false
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(t, l), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(t, l)) -> false
eq₂(cons₂(t, l), cons₂(t', l')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(l, l'))
eq₂(var₁(l), var₁(l')) -> eq₂(l, l')
eq₂(var₁(l), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(var₁(l), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), var₁(l)) -> false
eq₂(apply₂(t, s), apply₂(t', s')) -> and₂(eq₂(t, t'), eq₂(s, s'))
eq₂(apply₂(t, s), lambda₂(x, t)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), var₁(l)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), apply₂(t, s)) -> false
eq₂(lambda₂(x, t), lambda₂(x', t')) -> and₂(eq₂(x, x'), eq₂(t, t'))
if₃(true, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(k)
if₃(false, var₁(k), var₁(l')) -> var₁(l')
ren₃(var₁(l), var₁(k), var₁(l')) -> if₃(eq₂(l, l'), var₁(k), var₁(l'))
ren₃(x, y, apply₂(t, s)) -> apply₂(ren₃(x, y, t), ren₃(x, y, s))
ren₃(x, y, lambda₂(z, t)) -> lambda₂(var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), ren₃(x, y, ren₃(z, var₁(cons₂(x, cons₂(y, cons₂(lambda₂(z, t), nil)))), t)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(true, x0)
and₂(false, x0)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x0))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x1, x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.